Fonction delta de Dirac

La fonction delta de Dirac est une fonction un peu particulière définie comme suit.

Ou bien, moins formellement,

C’est l’identité de l’opérateur de convolution.

Lien avec le traitement d’images

En traitement d’images, l’opérateur de convolution est un outil puissant pour appliquer des filtres à des images.

Un exemple d’utilisation de ce filtrage est la création de ce qu’on appelle un flou gaussien (ou lissage gaussien).

Intuitivement, lorsqu’on convolue une image avec un filtre gaussien (dont les valeurs suivent une fonction gaussienne de centre le centre du filtre), nous obtenons une nouvelle image dont chaque pixel vaut une moyenne pondérée des pixels de l’image originelle.

Cela fait apparaître un flou dans l’image. En modifiant les paramètres de la fonction gaussienne utilisée, le lissage de l’image est plus ou moins accentué.

Imaginons que le filtre suive la fonction delta de dirac (“normalisée”). Dans ce cas là nous faisons uniquement la moyenne d’un seul pixel, c’est à dire que le flou devient nul et le résultat de la convolution est simplement l’image originelle.

C’est une manière de comprendre que la fonction delta est bien l’identité de l’opérateur convolution.

Lien avec la théorie des probabilités

Soit . Notons  la fonction de densité de .

Ainsi,

Cette fonction respecte bien les propriétés d’une fonction de densité de probabilité.

D’après le théorème central limite, soit , et notons la moyenne de ces variables aléatoires par .

Maintenant, soit  une variable aléatoire de même support que , et soit la variable aléatoire . Nous avons ainsi lorsque  tend vers l’infini :