Formule de Bayes et tests de dépistage

Théorème mathématique

Soit A et B deux évènements. On note (respectivement ) la probabilité de A sachant B (respectivement B sachant A). Alors, nous avons la relation suivante :

Cette formule peut aussi être exprimée sous cette forme, peut-être davantage aisée à retenir : .

Application aux tests de dépistage

Imaginons une maladie et un test de dépistage lié ayant ces différentes propriétés :

  • Approximativement 5% de la population est malade
  • Si une personne est malade, le test le détectera avec une probabilité de 98%
  • Le test produit 3% de faux positifs

Maintenant, déterminons la probabilité qu’une personne soit malade dans le cas où le test produit un résultat positif.

Notons :

  • M l’évènement « la personne est malade »
  • P l’évènement « le test est positif »

Ainsi, et en appliquant la formule de Bayes :

La probabilité que la personne soit réellement malade est ainsi de 63%. Ce résultat peut sembler bien bas, mais c’est en effet correct, et c’est ceci qui est intéressant.

Développer une intuition basée sur cette formule de Bayes peut nous permettre de raisonner plus objectivement et surtout plus justement.