[{"data":1,"prerenderedAt":189},["ShallowReactive",2],{"content-notes\u002Fdirac-delta":3},{"id":4,"title":5,"ambience":6,"assets":7,"body":8,"breadcrumb":178,"chunks":7,"completed":6,"creation_date":179,"def":7,"description":180,"disclaimer":6,"extension":181,"featured":6,"hasMath":28,"image":7,"indexed":6,"key":182,"language":183,"meta":184,"metaTitle":7,"navigation":28,"path":185,"review":6,"seo":186,"stem":187,"subtitle":7,"tags":7,"tocEnabled":28,"__hash__":188},"content\u002Ffr\u002Fnotes\u002Fdirac-delta.md","Fonction delta de Dirac",false,null,{"type":9,"value":10,"toc":171},"minimark",[11,15,30,33,41,44,49,52,55,58,61,64,67,71,94,102,105,113,116,131,139,163],[12,13,14],"p",{},"La fonction delta de Dirac est une fonction un peu particulière définie comme suit.",[16,17,20],"div",{"className":18},[19],"math-display-scroll",[21,22],"math",{"display":23,"className":24,"style":26,"dataCopyLatex":27,"dataCopyDisplay":28,"innerHTML":29},"block",[25],"tml-display","display:block math;","\\delta(x) = \\underset{u \\to 0}{\\lim} {1 \\over {\\left|u\\right|\\sqrt{\\pi}}} e^{-{x^2 \\over u^2}}",true,"\u003Cmrow>\u003Cmi>δ\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmrow>\u003Cmunder>\u003Cmrow>\u003Cmi>lim\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>⁡\u003C\u002Fmo>\u003Cmspace width=\"0.1667em\">\u003C\u002Fmspace>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmrow>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>→\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>0\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmunder>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmfrac>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003Cmrow>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"true\">|\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"true\">|\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmsqrt>\u003Cmrow>\u003Cmi>π\u003C\u002Fmi>\u003Cmspace width=\"0pt\" height=\"0.5em\">\u003C\u002Fmspace>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsqrt>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmfrac>\u003Cmsup>\u003Cmi>e\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow class=\"tml-sml-pad\">\u003Cmo form=\"prefix\" stretchy=\"false\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\">−\u003C\u002Fmo>\u003Cmfrac>\u003Cmsup scriptlevel=\"2\" style=\"math-depth:2;\">\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmn scriptlevel=\"2\" class=\"tml-sml-pad\">2\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmsup>\u003Cmsup scriptlevel=\"2\" style=\"math-depth:2;\">\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003Cmn scriptlevel=\"2\" class=\"tml-sml-pad\">2\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmsup>\u003C\u002Fmfrac>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsup>\u003C\u002Fmrow>",[12,31,32],{},"Ou bien, moins formellement,",[16,34,36],{"className":35},[19],[21,37],{"display":23,"className":38,"style":26,"dataCopyLatex":39,"dataCopyDisplay":28,"innerHTML":40},[25],"\\delta(x) = \\begin{cases} \\infty \\quad \\text{si } x = 0 \\\\ 0 \\ \\ \\quad \\text{sinon} \\end{cases}","\u003Cmrow>\u003Cmi>δ\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"true\">{\u003C\u002Fmo>\u003Cmtable>\u003Cmtr>\u003Cmtd class=\"tml-left\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmrow>\u003Cmi>∞\u003C\u002Fmi>\u003Cmspace width=\"1em\">\u003C\u002Fmspace>\u003Cmtext>si \u003C\u002Fmtext>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>0\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003Cmtr>\u003Cmtd class=\"tml-left\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmrow>\u003Cmn>0\u003C\u002Fmn>\u003Cmtext> \u003C\u002Fmtext>\u003Cmtext> \u003C\u002Fmtext>\u003Cmspace width=\"1em\">\u003C\u002Fmspace>\u003Cmtext>sinon\u003C\u002Fmtext>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003C\u002Fmtable>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"true\">\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmrow>",[12,42,43],{},"C’est l’identité de l’opérateur de convolution.",[45,46,48],"h2",{"id":47},"lien-avec-le-traitement-dimages","Lien avec le traitement d’images",[12,50,51],{},"En traitement d’images, l’opérateur de convolution est un outil puissant pour appliquer des filtres à des images.",[12,53,54],{},"Un exemple d’utilisation de ce filtrage est la création de ce qu’on appelle un flou gaussien (ou lissage gaussien).",[12,56,57],{},"Intuitivement, lorsqu’on convolue une image avec un filtre gaussien (dont les valeurs suivent une fonction gaussienne de centre le centre du filtre), nous obtenons une nouvelle image dont chaque pixel vaut une moyenne pondérée des pixels de l’image originelle.",[12,59,60],{},"Cela fait apparaître un flou dans l’image. En modifiant les paramètres de la fonction gaussienne utilisée, le lissage de l’image est plus ou moins accentué.",[12,62,63],{},"Imaginons que le filtre suive la fonction delta de dirac (“normalisée”). Dans ce cas là nous faisons uniquement la moyenne d’un seul pixel, c’est à dire que le flou devient nul et le résultat de la convolution est simplement l’image originelle.",[12,65,66],{},"C’est une manière de comprendre que la fonction delta est bien l’identité de l’opérateur convolution.",[45,68,70],{"id":69},"lien-avec-la-théorie-des-probabilités","Lien avec la théorie des probabilités",[12,72,73],{},[74,75,78,79,83,84,88,89,93],"span",{"className":76},[77],"inline-math","Soit ",[21,80],{"dataCopyLatex":81,"dataCopyDisplay":6,"innerHTML":82},"X_n \\sim \\mathcal{N}(\\mu, {1 \\over n})","\u003Cmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>X\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>n\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>∼\u003C\u002Fmo>\u003Cmi class=\"mathcal\">𝒩\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>μ\u003C\u002Fmi>\u003Cmo separator=\"true\">,\u003C\u002Fmo>\u003Cmfrac>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003Cmi>n\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmfrac>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmrow>",". Notons ",[21,85],{"dataCopyLatex":86,"dataCopyDisplay":6,"innerHTML":87},"f_n","\u003Cmsub>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>n\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>"," la fonction de densité de ",[21,90],{"dataCopyLatex":91,"dataCopyDisplay":6,"innerHTML":92},"X_n","\u003Cmsub>\u003Cmi>X\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>n\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>",".",[16,95,97],{"className":96},[19],[21,98],{"display":23,"className":99,"style":26,"dataCopyLatex":100,"dataCopyDisplay":28,"innerHTML":101},[25],"f_n(x) = {\\sqrt{n} \\over \\sqrt{2\\pi}}e^{-{n(x - \\mu)^2\\over 2}}","\u003Cmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>n\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmfrac>\u003Cmsqrt>\u003Cmrow>\u003Cmi>n\u003C\u002Fmi>\u003Cmspace width=\"0pt\" height=\"0.5em\">\u003C\u002Fmspace>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsqrt>\u003Cmsqrt>\u003Cmrow>\u003Cmn>2\u003C\u002Fmn>\u003Cmi>π\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsqrt>\u003C\u002Fmfrac>\u003Cmsup>\u003Cmi>e\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow class=\"tml-sml-pad\">\u003Cmo form=\"prefix\" stretchy=\"false\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\">−\u003C\u002Fmo>\u003Cmfrac>\u003Cmrow scriptlevel=\"2\" style=\"math-depth:2;\">\u003Cmi>n\u003C\u002Fmi>\u003Cmsup>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>μ\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmn scriptlevel=\"2\">2\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmsup>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmn scriptlevel=\"2\" style=\"math-depth:2;\">2\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmfrac>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsup>\u003C\u002Fmrow>",[12,103,104],{},"Ainsi,",[16,106,108],{"className":107},[19],[21,109],{"display":23,"className":110,"style":26,"dataCopyLatex":111,"dataCopyDisplay":28,"innerHTML":112},[25],"f_n(x) \\overset{n \\to \\infty}{\\to} \\delta(x - \\mu)","\u003Cmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>n\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmrow>\u003Cmover>\u003Cmo>→\u003C\u002Fmo>\u003Cmrow>\u003Cmi>n\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>→\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>∞\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmover>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmi>δ\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>μ\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmrow>",[12,114,115],{},"Cette fonction respecte bien les propriétés d’une fonction de densité de probabilité.",[12,117,118,93],{},[74,119,121,122,126,127],{"className":120},[77],"D’après le théorème central limite, soit ",[21,123],{"dataCopyLatex":124,"dataCopyDisplay":6,"innerHTML":125},"X_1, X_2, ..., X_n \\overset{\\text{iid}}{\\sim} \\mathcal{N}(\\mu, 1)","\u003Cmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>X\u003C\u002Fmi>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo separator=\"true\">,\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>X\u003C\u002Fmi>\u003Cmn>2\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo separator=\"true\">,\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>.\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>.\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>.\u003C\u002Fmi>\u003Cmo separator=\"true\">,\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>X\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>n\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmrow>\u003Cmover>\u003Cmo>∼\u003C\u002Fmo>\u003Cmtext>iid\u003C\u002Fmtext>\u003C\u002Fmover>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmi class=\"mathcal\">𝒩\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>μ\u003C\u002Fmi>\u003Cmo separator=\"true\">,\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmrow>",", et notons la moyenne de ces variables aléatoires par ",[21,128],{"dataCopyLatex":129,"dataCopyDisplay":6,"innerHTML":130},"\\overline{X}","\u003Cmenclose notation=\"top\" class=\"tml-overline\">\u003Cmi>X\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmenclose>",[16,132,134],{"className":133},[19],[21,135],{"display":23,"className":136,"style":26,"dataCopyLatex":137,"dataCopyDisplay":28,"innerHTML":138},[25],"\\overline{X} \\sim \\mathcal{N}(\\mu,{1 \\over n}), \\ n \\to \\infty","\u003Cmrow>\u003Cmenclose notation=\"top\" class=\"tml-overline\">\u003Cmi>X\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmenclose>\u003Cmo>∼\u003C\u002Fmo>\u003Cmi class=\"mathcal\">𝒩\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>μ\u003C\u002Fmi>\u003Cmo separator=\"true\">,\u003C\u002Fmo>\u003Cmfrac>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003Cmi>n\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmfrac>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo separator=\"true\">,\u003C\u002Fmo>\u003Cmtext> \u003C\u002Fmtext>\u003Cmi>n\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>→\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>∞\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>",[12,140,141],{},[74,142,144,145,149,150,152,153,157,158,162],{"className":143},[77],"Maintenant, soit ",[21,146],{"dataCopyLatex":147,"dataCopyDisplay":6,"innerHTML":148},"Y","\u003Cmi>Y\u003C\u002Fmi>"," une variable aléatoire de même support que ",[21,151],{"dataCopyLatex":129,"dataCopyDisplay":6,"innerHTML":130},", et soit la variable aléatoire ",[21,154],{"dataCopyLatex":155,"dataCopyDisplay":6,"innerHTML":156},"S = Y + \\overline{X}","\u003Cmrow>\u003Cmi>S\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>Y\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>+\u003C\u002Fmo>\u003Cmenclose notation=\"top\" class=\"tml-overline\">\u003Cmi>X\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmenclose>\u003C\u002Fmrow>",". Nous avons ainsi lorsque ",[21,159],{"dataCopyLatex":160,"dataCopyDisplay":6,"innerHTML":161},"n","\u003Cmi>n\u003C\u002Fmi>"," tend vers l’infini :",[16,164,166],{"className":165},[19],[21,167],{"display":23,"className":168,"style":26,"dataCopyLatex":169,"dataCopyDisplay":28,"innerHTML":170},[25],"f_S(s) = (f_Y * f_{\\overline{X}})(s) = (f_Y * \\delta(\\cdot - \\mu))(s) = f_Y(s - \\mu)","\u003Cmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>S\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>s\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>Y\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>∗\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003Cmenclose notation=\"top\" class=\"tml-overline\">\u003Cmi>X\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmenclose>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>s\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>Y\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>∗\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>δ\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">⋅\u003C\u002Fmo>\u003Cmo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">−\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>μ\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>s\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>Y\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>s\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>μ\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmrow>",{"title":172,"searchDepth":173,"depth":173,"links":174},"",5,[175,177],{"id":47,"depth":176,"text":48},2,{"id":69,"depth":176,"text":70},"\u002Fnotes \u002Fdirac-delta","2022-05-04","Quelques remarques sur la fonction delta de Dirac","md","dirac-delta","fr",{},"\u002Ffr\u002Fnotes\u002Fdirac-delta",{"title":5,"description":180},"fr\u002Fnotes\u002Fdirac-delta","IwuFiEi3fjAUlUlAmRdEJ_Wb-7OqIw7qXMANU3_m9Eo",1786809142434]