[{"data":1,"prerenderedAt":272},["ShallowReactive",2],{"content:\u002Fen\u002Farchive\u002Flqr":3},{"id":4,"title":5,"ambience":6,"articleStatus":7,"assets":8,"body":9,"breadcrumb":262,"chunks":8,"completed":6,"def":8,"description":254,"disclaimer":6,"extension":263,"hasMath":35,"image":8,"indexed":6,"key":264,"language":265,"meta":266,"metaTitle":8,"navigation":35,"nextArticle":8,"nextArticleTransition":8,"path":267,"previousArticle":8,"previousArticleTransition":8,"publishedAt":268,"review":6,"seo":269,"seriesPart":8,"seriesTitle":8,"stem":270,"subtitle":8,"tags":8,"tocEnabled":35,"__hash__":271},"legacy_en\u002Fen\u002Farchive\u002Flqr.md","LQR: motivation and derivation",false,"published",null,{"type":10,"value":11,"toc":253},"minimark",[12,17,21,37,50,53,57,60,68,71,79,82,90,93,101,104,112,115,123,126,134,137,145,148,156,160,163,166,174,177,185,188,196,199,207,210,214,225,228,231,239,242,250],[13,14,16],"h2",{"id":15},"motivation","Motivation",[18,19,20],"p",{},"We want to derive a controller (or regulator) in order to minimize a quadratic constraint given system dynamics.",[22,23,27],"div",{"className":24},[25,26],"math-display-scroll","edge-fade-scroll",[28,29],"math",{"display":30,"className":31,"style":33,"dataCopyLatex":34,"dataCopyDisplay":35,"innerHTML":36},"block",[32],"tml-display","display:block math;","\\begin{aligned}\n\\min_{x_{1:N}, u_{1:N-1}} \\quad & J(x, u) = {\\sum_{k=1}^{N-1} \\underbrace{x_k^T Q_k x_k + u_k^T R_k u_k}_{\\text{stage cost}}} + \\underbrace{x_N^T Q_f x}_{\\text{final cost}}\\\\\n\\textrm{s.t.} \\quad & x_{k+1} = f_d(x_k, u_k) \\approx A_kx_k + B_ku_k\\\\\n& Q_k, Q_f \\succeq 0, \\quad R_k \\succ 0 \\\\\n\\end{aligned}",true,"\u003Cmtable displaystyle=\"true\" class=\"tml-jot\">\u003Cmtr>\u003Cmtd class=\"tml-right\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmrow>\u003Cmunder>\u003Cmi>min\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003Cmo lspace=\"0.2222em\" 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style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmn>0\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmn>0\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:0em;\">\u003Cmn>0\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmrow>\u003Cmi>⋮\u003C\u002Fmi>\u003Cmspace width=\"0pt\" height=\"14.944pt\">\u003C\u002Fmspace>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmrow>\u003Cmi>⋮\u003C\u002Fmi>\u003Cmspace width=\"0pt\" height=\"14.944pt\">\u003C\u002Fmspace>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmrow>\u003Cmi>⋮\u003C\u002Fmi>\u003Cmspace width=\"0pt\" height=\"14.944pt\">\u003C\u002Fmspace>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmrow>\u003Cmi>⋮\u003C\u002Fmi>\u003Cmspace width=\"0pt\" height=\"14.944pt\">\u003C\u002Fmspace>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmo>⋱\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmrow>\u003Cmi>⋮\u003C\u002Fmi>\u003Cmspace width=\"0pt\" height=\"14.944pt\">\u003C\u002Fmspace>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmrow>\u003Cmi>⋮\u003C\u002Fmi>\u003Cmspace width=\"0pt\" height=\"14.944pt\">\u003C\u002Fmspace>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:0em;\">\u003Cmrow>\u003Cmi>⋮\u003C\u002Fmi>\u003Cmspace width=\"0pt\" height=\"14.944pt\">\u003C\u002Fmspace>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmn>0\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmn>0\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmn>0\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmo>⋯\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmo>⋯\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmsub>\u003Cmi>A\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>N\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmsub>\u003Cmi>B\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>N\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:0em;\">\u003Cmrow>\u003Cmo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">−\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>I\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003C\u002Fmtable>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"true\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo stretchy=\"true\" style=\"math-depth:0;\">⏟\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmunder>\u003Cmrow>\u003Cmo lspace=\"0em\" rspace=\"0em\">≐\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>C\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmunder>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmrow>\u003Cmunder>\u003Cmunder>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"true\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmtable>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmsub>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmn>2\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmrow>\u003Cmi>⋮\u003C\u002Fmi>\u003Cmspace width=\"0pt\" height=\"14.944pt\">\u003C\u002Fmspace>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>N\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003C\u002Fmtable>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"true\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo stretchy=\"true\" style=\"math-depth:0;\">⏟\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmunder>\u003Cmrow>\u003Cmo lspace=\"0em\" rspace=\"0em\">≐\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>z\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmunder>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmrow>\u003Cmunder>\u003Cmunder>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"true\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmtable>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmrow>\u003Cmo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">−\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>A\u003C\u002Fmi>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmn>0\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmrow>\u003Cmi>⋮\u003C\u002Fmi>\u003Cmspace width=\"0pt\" height=\"14.944pt\">\u003C\u002Fmspace>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmn>0\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003C\u002Fmtable>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"true\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo stretchy=\"true\" style=\"math-depth:0;\">⏟\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmunder>\u003Cmrow>\u003Cmo lspace=\"0em\" rspace=\"0em\">≐\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>d\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmunder>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003C\u002Fmtable>",[18,69,70],{},"This is a convex problem with the following Lagrangian:",[22,72,74],{"className":73},[25,26],[28,75],{"display":30,"className":76,"style":33,"dataCopyLatex":77,"dataCopyDisplay":35,"innerHTML":78},[32],"\\mathcal{L}(z, \\lambda) = {1 \\over 2}z^THz + \\lambda^T(Cz - d)","\u003Cmrow>\u003Cmi class=\"mathcal\">ℒ\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>z\u003C\u002Fmi>\u003Cmo separator=\"true\">,\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>λ\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmfrac>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003Cmn>2\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmfrac>\u003Cmsup>\u003Cmi>z\u003C\u002Fmi>\u003Cmi class=\"tml-sml-pad\">T\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsup>\u003Cmi>H\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>z\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>+\u003C\u002Fmo>\u003Cmsup>\u003Cmi>λ\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>T\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsup>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>C\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>z\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>d\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmrow>",[18,80,81],{},"The KKT conditions are:",[22,83,85],{"className":84},[25,26],[28,86],{"display":30,"className":87,"style":33,"dataCopyLatex":88,"dataCopyDisplay":35,"innerHTML":89},[32],"\\begin{pmatrix}H & C^T\\\\ C & 0\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}z \\\\ \\lambda\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}0 \\\\ d\\end{pmatrix}","\u003Cmrow>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"true\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmtable>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmi>H\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:0em;\">\u003Cmsup>\u003Cmi>C\u003C\u002Fmi>\u003Cmi class=\"tml-med-pad\">T\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsup>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmi>C\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd style=\"padding-left:5.9776pt;padding-right:0em;\">\u003Cmn>0\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003C\u002Fmtable>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"true\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"true\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmtable>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmi>z\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmi>λ\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003C\u002Fmtable>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"true\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"true\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmtable>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmn>0\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmi>d\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003C\u002Fmtable>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"true\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmrow>",[18,91,92],{},"Solving this sparse system can be done efficiently using backward substitution, leading to the Riccati recursion.",[22,94,96],{"className":95},[25,26],[28,97],{"display":30,"className":98,"style":33,"dataCopyLatex":99,"dataCopyDisplay":35,"innerHTML":100},[32],"\\begin{pmatrix}R_1 & 0 & 0 & 0 & \\cdots & 0 & 0 & 0 & B_1^T & 0 & \\cdots & 0\\\\ 0 & Q_2 & 0 & 0 & \\cdots & 0 & 0 & 0 & -I & A_2^T & \\cdots & 0 \\\\ 0 & 0 & R_2 & 0 & \\cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & B_2^T & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \\cdots & Q_{N-1} & 0 & 0 & 0 & 0 & \\cdots & A_{N-1} \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \\cdots & 0 & R_{N-1} & 0 & 0 & 0 & \\cdots & B_{N-1} \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \\cdots & 0 & 0 & Q_f & 0 & 0 & \\cdots & -I \\\\ B_1 & -I & 0 & 0 & \\cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\cdots & 0 \\\\\n0 & A_2 & B_2 & -I & \\cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & \\cdots & \\cdots & -I & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & \\cdots & \\cdots & A_{N-1} & B_{N-1} & -I & 0 & 0 & 0 & 0\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}u_1 \\\\ x_2 \\\\ u_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_{N-1} \\\\ u_{N-1} \\\\ x_N \\\\ \\lambda_2 \\\\ \\lambda_3 \\\\ \\vdots \\\\ \\lambda_{N-1} \\\\ \\lambda_N \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ \\vdots \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -A_1x_1 \\\\ 0 \\\\ \\vdots \\\\ 0 \\\\ 0\\end{pmatrix}","\u003Cmrow>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"true\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmtable>\u003Cmtr>\u003Cmtd style=\"padding-left:0em;padding-right:5.9776pt;\">\u003Cmsub>\u003Cmi>R\u003C\u002Fmi>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd 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class=\"tml-eqn\">\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fmtext>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003C\u002Fmtable>",[18,113,114],{},"Which imply",[22,116,118],{"className":117},[25,26],[28,119],{"display":30,"className":120,"style":33,"dataCopyLatex":121,"dataCopyDisplay":35,"innerHTML":122},[32],"B_{N-1}^TQ_fx_N = B_{N-1}^TQ_f\\left(A_{N-1}x_{N-1} + B_{N-1}u_{N-1}\\right) = -R_{N-1}u_{N-1}","\u003Cmrow>\u003Cmsubsup>\u003Cmi>B\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>N\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmi class=\"tml-med-pad\">T\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsubsup>\u003Cmsub>\u003Cmi>Q\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>N\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmsubsup>\u003Cmi>B\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>N\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmi 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rspace=\"0em\">−\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsup>\u003Cmsubsup>\u003Cmi>B\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>N\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmi class=\"tml-med-pad\">T\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsubsup>\u003Cmsub>\u003Cmi>Q\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmsub>\u003Cmi>A\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>N\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo stretchy=\"true\" style=\"math-depth:0;\">⏟\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmunder>\u003Cmsub>\u003Cmi>K\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>N\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmunder>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>N\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmrow>",[18,135,136],{},"Now we can use direct induction to define",[22,138,140],{"className":139},[25,26],[28,141],{"display":30,"className":142,"style":33,"dataCopyLatex":143,"dataCopyDisplay":35,"innerHTML":144},[32],"\\begin{aligned}\nP_N &= Q_N \\\\\nK_k &= \\left(R_k + B_k^TP_{k+1}B\\right)^{-1}B_k^TP_{k+1}A_k \\\\\nP_k &= Q_k + A_k^TP_{k+1}\\left(A_k - B_kK_k\\right)\n\\end{aligned}","\u003Cmtable displaystyle=\"true\" class=\"tml-jot\">\u003Cmtr>\u003Cmtd class=\"tml-right\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmsub>\u003Cmi>P\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>N\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd class=\"tml-left\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmrow>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>Q\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>N\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003Cmtr>\u003Cmtd class=\"tml-right\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmsub>\u003Cmi>K\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd class=\"tml-left\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmrow>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmsup>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"true\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>R\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>+\u003C\u002Fmo>\u003Cmsubsup>\u003Cmi>B\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003Cmi class=\"tml-med-pad\">T\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsubsup>\u003Cmsub>\u003Cmi>P\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>+\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmi>B\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"true\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmrow>\u003Cmo form=\"prefix\" stretchy=\"false\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\">−\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsup>\u003Cmsubsup>\u003Cmi>B\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003Cmi class=\"tml-med-pad\">T\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsubsup>\u003Cmsub>\u003Cmi>P\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>+\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmsub>\u003Cmi>A\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003Cmtr>\u003Cmtd class=\"tml-right\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmsub>\u003Cmi>P\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd class=\"tml-left\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmrow>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>Q\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>+\u003C\u002Fmo>\u003Cmsubsup>\u003Cmi>A\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003Cmi class=\"tml-lrg-pad\">T\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsubsup>\u003Cmsub>\u003Cmi>P\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>+\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"true\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>A\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>B\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmsub>\u003Cmi>K\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"true\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003C\u002Fmtr>\u003C\u002Fmtable>",[18,146,147],{},"Which provide the general formula for the feedback policy:",[22,149,151],{"className":150},[25,26],[28,152],{"display":30,"className":153,"style":33,"dataCopyLatex":154,"dataCopyDisplay":35,"innerHTML":155},[32],"\\boxed{u_k = -K_kx_k \\qquad \\text{or} \\qquad u = -Kx \\quad \\text{for open-loop trajectories}}","\u003Cmrow scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"true\" style=\"padding:3pt;border:1px solid;\">\u003Cmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">−\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>K\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmspace width=\"2em\">\u003C\u002Fmspace>\u003Cmtext>or\u003C\u002Fmtext>\u003Cmspace width=\"2em\">\u003C\u002Fmspace>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">−\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>K\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmspace width=\"1em\">\u003C\u002Fmspace>\u003Cmtext>for open-loop trajectories\u003C\u002Fmtext>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmrow>",[13,157,159],{"id":158},"derivation-using-the-cost-to-go-function","Derivation using the cost-to-go function",[18,161,162],{},"The state-value function or cost-to-go is defined as the cost associated to a given state assuming we follow an optimal policy. In order to minimize the total cost, we can use a greedy approach, and minimize over each individual step (Bellman principle of optimality). It means that when the state is fixed and the controls free of choice, the optimal control minimizes the sum of both the current stage cost and future costs.",[18,164,165],{},"In equations, the final cost-to-go is",[22,167,169],{"className":168},[25,26],[28,170],{"display":30,"className":171,"style":33,"dataCopyLatex":172,"dataCopyDisplay":35,"innerHTML":173},[32],"V_N(x) = {1 \\over 2}x^TQ_fx = {1 \\over 2}x^TP_Nx","\u003Cmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>V\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>N\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmfrac>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003Cmn>2\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmfrac>\u003Cmsup>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmi class=\"tml-sml-pad\">T\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsup>\u003Cmsub>\u003Cmi>Q\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmfrac>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003Cmn>2\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmfrac>\u003Cmsup>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmi class=\"tml-sml-pad\">T\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsup>\u003Cmsub>\u003Cmi>P\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>N\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>",[18,175,176],{},"And the previous one can be defined recursively",[22,178,180],{"className":179},[25,26],[28,181],{"display":30,"className":182,"style":33,"dataCopyLatex":183,"dataCopyDisplay":35,"innerHTML":184},[32],"\\begin{align*}\nV_{k}(x) &= \\min_{u} {1 \\over 2}x_{k}^TQ_kx_k + {1 \\over 2}u^TR_ku + V_{k+1}\\left(A_kx_k + B_ku\\right)\\\\\n&= {1 \\over 2}\\left[x_{k}^TQ_kx_k + \\min_{u} u^TR_ku + \\left(A_kx_k + B_ku\\right)^TP_{k+1}\\left(A_kx_k + B_ku\\right)\\right]\n\\end{align*}","\u003Cmtable displaystyle=\"true\" class=\"tml-jot\">\u003Cmtr>\u003Cmtd class=\"tml-right\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>V\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmtd>\u003Cmtd class=\"tml-left\" style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\">\u003Cmrow>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmunder>\u003Cmi>min\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmunder>\u003Cmo>⁡\u003C\u002Fmo>\u003Cmspace width=\"0.1667em\">\u003C\u002Fmspace>\u003Cmfrac>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003Cmn>2\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmfrac>\u003Cmsubsup>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003Cmi 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",[28,221],{"dataCopyLatex":222,"dataCopyDisplay":6,"innerHTML":223},"u_k = -K_kx_k","\u003Cmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">−\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>K\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmrow>",".",[18,226,227],{},"This drives the system to zero, and does not depend on the initial conditions. A direct application of this is the hover of a quadrotor. The LQR controller will help the system stabilize in the air, and a finite number of (or a unique) feedback gain matrice(s) is sufficient.",[18,229,230],{},"For trajectory tracking, we can use the following controls:",[22,232,234],{"className":233},[25,26],[28,235],{"display":30,"className":236,"style":33,"dataCopyLatex":237,"dataCopyDisplay":35,"innerHTML":238},[32],"u_k = u_{ref} - K_k(x_k - x_{ref})","\u003Cmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>r\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>e\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>K\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>−\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>r\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>e\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmrow>",[18,240,241],{},"It can be thought as shifting the origin. Given the dynamics, the linearization can be done as follow, linearizing about the shifted origins:",[22,243,245],{"className":244},[25,26],[28,246],{"display":30,"className":247,"style":33,"dataCopyLatex":248,"dataCopyDisplay":35,"innerHTML":249},[32],"x_{k+1} = f_d(x_k, u_k) \\approx \\left(\\frac{\\partial f_d}{\\partial x}\\Big|_{x_{ref}, u_{ref}}\\right)x_k + \\left(\\frac{\\partial f_d}{\\partial u}\\Big|_{x_{ref}, u_{ref}}\\right)u_k \\doteq A_kx_k + B_ku_k","\u003Cmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003Cmo>+\u003C\u002Fmo>\u003Cmn>1\u003C\u002Fmn>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>=\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>d\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo separator=\"true\">,\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmo>≈\u003C\u002Fmo>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"true\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmfrac>\u003Cmrow>\u003Cmi>∂\u003C\u002Fmi>\u003Cmsub>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>d\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmrow>\u003Cmi>∂\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmfrac>\u003Cmsub>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"false\" stretchy=\"true\" symmetric=\"true\" minsize=\"1.8em\" maxsize=\"1.8em\">|\u003C\u002Fmo>\u003Cmrow>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>r\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>e\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo separator=\"true\">,\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>r\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>e\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"true\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>+\u003C\u002Fmo>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"prefix\" stretchy=\"true\">(\u003C\u002Fmo>\u003Cmfrac>\u003Cmrow>\u003Cmi>∂\u003C\u002Fmi>\u003Cmsub>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>d\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmrow>\u003Cmi>∂\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmfrac>\u003Cmsub>\u003Cmrow>\u003Cmo fence=\"false\" stretchy=\"true\" symmetric=\"true\" minsize=\"1.8em\" maxsize=\"1.8em\">|\u003C\u002Fmo>\u003Cmrow>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>r\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>e\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo separator=\"true\">,\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003Cmrow>\u003Cmi>r\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>e\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>f\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmrow>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo fence=\"true\" form=\"postfix\" stretchy=\"true\">)\u003C\u002Fmo>\u003C\u002Fmrow>\u003Cmsub>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>≐\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>A\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmsub>\u003Cmi>x\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmo>+\u003C\u002Fmo>\u003Cmsub>\u003Cmi>B\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003Cmsub>\u003Cmi>u\u003C\u002Fmi>\u003Cmi>k\u003C\u002Fmi>\u003C\u002Fmsub>\u003C\u002Fmrow>",[18,251,252],{},"LQR controllers are very simple and powerful, thus a good choice for many control problems.",{"title":254,"searchDepth":255,"depth":255,"links":256},"",5,[257,259,260,261],{"id":15,"depth":258,"text":16},2,{"id":55,"depth":258,"text":56},{"id":158,"depth":258,"text":159},{"id":212,"depth":258,"text":213},"\u002Fen \u002Farchive \u002Flqr","md","lqr","en",{},"\u002Fen\u002Farchive\u002Flqr","2023-05-27",{"title":5,"description":254},"en\u002Farchive\u002Flqr","3tpgDfuvZHN862yD3zrAFuIj0xmyBPGA3wwIzOdlung",1792158878454]